الجبر الخطي الأمثلة

$3 (\cos (π) + i \sin (π))$

خطوة 1

احسِب المسافة من $(a, b)$ إلى نقطة الأصل باستخدام القاعدة $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{{(3 \cos (π))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

خطوة 2

بسّط $\sqrt{{(3 \cos (π))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$r = \sqrt{{(3 (- \cos (0)))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

خطوة 2.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$r = \sqrt{{(3 (- 1 \cdot 1))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

خطوة 2.3

اضرب $3 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$r = \sqrt{{(3 \cdot - 1)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

خطوة 2.3.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

خطوة 2.4

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$r = \sqrt{9 + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

خطوة 2.5

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$r = \sqrt{9 + {(\sin (0) \cdot 3)}^{2}}$

خطوة 2.6

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$r = \sqrt{9 + {(0 \cdot 3)}^{2}}$

خطوة 2.7

اضرب $0$ في $3$ .

$r = \sqrt{9 + 0^{2}}$

خطوة 2.8

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$r = \sqrt{9 + 0}$

خطوة 2.9

أضف $9$ و $0$ .

$r = \sqrt{9}$

خطوة 2.10

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$r = \sqrt{3^{2}}$

خطوة 2.11

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$r = 3$

خطوة 3

احسِب زاوية المرجع $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$

خطوة 4

بسّط $\arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$

خطوة 4.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π)}{\cos (π)} |)$

خطوة 4.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (0)}{\cos (π)} |)$

خطوة 4.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{\cos (π)} |)$

خطوة 4.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- \cos (0)} |)$

خطوة 4.3.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- 1 \cdot 1} |)$

خطوة 4.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- 1} |)$

خطوة 4.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{0}{- 1}$ .

$θ̂ = \arctan (| - 1 \cdot 0 |)$

خطوة 4.4.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$θ̂ = \arctan (| 0 |)$

خطوة 4.5

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $0$ تساوي $0$ .

$θ̂ = \arctan (0)$

خطوة 4.6

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (0)$ هي $0$ .

$θ̂ = 0$

خطوة 5

أوجِد الربع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

$(3 (- \cos (0)), \sin (π) \cdot 3)$

خطوة 5.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$(3 (- 1 \cdot 1), \sin (π) \cdot 3)$

خطوة 5.3

اضرب $3 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$(3 \cdot - 1, \sin (π) \cdot 3)$

خطوة 5.3.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$(- 3, \sin (π) \cdot 3)$

خطوة 5.4

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$(- 3, \sin (0) \cdot 3)$

خطوة 5.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$(- 3, 0 \cdot 3)$

خطوة 5.6

اضرب $0$ في $3$ .

$(- 3, 0)$

خطوة 5.7

بما أن الإحداثي السيني سالب والإحداثي الصادي هو $0$ ، فإن النقطة تقع على المحور السيني بين الربعين الثاني والثالث. وتُميّز الأرباع بترتيب عكس اتجاه عقارب الساعة، بدءًا من الربع العلوي الأيمن.

بين الربع $2$ و $3$

خطوة 6

استخدِم القاعدة لإيجاد جذور العدد المركّب.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

خطوة 7

عوّض بـ $r$ و $n$ و $θ$ في القاعدة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع ${(3)}^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{θ + 2 π k}{2}$ .

$c i s \frac{{(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

خطوة 7.2

اجمع $c$ و $\frac{{(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$ .

$i s \frac{c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}$

خطوة 7.3

اجمع $i$ و $\frac{c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}$ .

$s \frac{i (c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}$

خطوة 7.4

اجمع $s$ و $\frac{i (c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}$ .

$\frac{s (i (c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))))}{2}$

خطوة 7.5

احذِف الأقواس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

احذِف الأقواس.

$\frac{s (i (c (3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))))}{2}$

خطوة 7.5.2

احذِف الأقواس.

$\frac{s (i (c \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}$

خطوة 7.5.3

احذِف الأقواس.

$\frac{s (i (c \cdot 3^{\frac{1}{2}}) (θ + 2 π k))}{2}$

خطوة 7.5.4

احذِف الأقواس.

$\frac{s (i c \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}$

خطوة 7.5.5

احذِف الأقواس.

$\frac{s (i c \cdot 3^{\frac{1}{2}}) (θ + 2 π k)}{2}$

خطوة 7.5.6

احذِف الأقواس.

$\frac{s (i c) \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

خطوة 7.5.7

احذِف الأقواس.

$\frac{s i c \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

خطوة 8

عوّض بـ $k = 0$ في القاعدة وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احذِف الأقواس.

$k = 0 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{2})$

خطوة 8.2

اضرب $2 π (0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اضرب $0$ في $2$ .

$k = 0 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 0 π}{2})$

خطوة 8.2.2

اضرب $0$ في $π$ .

$k = 0 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 0}{2})$

خطوة 9

عوّض بـ $k = 1$ في القاعدة وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

احذِف الأقواس.

$k = 1 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{2})$

خطوة 9.2

اضرب $2$ في $1$ .

$k = 1 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π}{2})$

خطوة 10

اسرِد الحلول.

$k = 0 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 0}{2})$

$k = 1 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π}{2})$